(2) Travail sur les médiatrices

Dans un repère orthonormé \(\left(\text O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)\), on considère les points \(\text A (1;1)\), \(\text B (1;-5)\) et \(\text C (6;4)\) formant ainsi le triangle \(\text{ABC}\). On admet que :

• l'équation réduite de la droite \((\text{AB})\) est \(x=1\) ;
• le coefficient directeur de la droite \((\text{AC})\) est \(m_1 = \dfrac{3}{5}\) ;
• le coefficient directeur \(m_2\) de la droite \((\text{BC})\) est \(m_2 = \dfrac{9}{5}\).
  

1. On appelle \(\text D\) le milieu du segment \([\text{AB}]\). Montrer que \(\text D \left( 1;-2 \right)\).

2. On appelle \(\text E\) le milieu du segment \([\text{BC}]\). Montrer que \(\text E \left( \dfrac{7}{2};-\dfrac{1}{2} \right)\).

3. Déterminer les coordonnées du milieu \(\text F\) du segment \([\text{AC}]\).

4. Justifier que l'équation réduite de la médiatrice \(d_1\) du segment \([\text{AB}]\) est \(y=-2\).

On donne la propriété suivante.

Propriété
On se place dans un repère orthonormé. On considère deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées et de coefficients directeurs \(m\) et \(m^{\prime}\). Ces deux droites sont perpendiculaires si et seulement si  : \(\boxed{m \times m^{\prime} = -1}\).

5. a. Déterminer le coefficient directeur \(m\) de la médiatrice du segment \([\text{BC}]\).
    b. En utilisant les coordonnées du point \(\text E\), en déduire que l'équation réduite de la médiatrice \(d_2\) du segment \([\text{BC}]\) est \(y=-\dfrac{5}{9}x+\dfrac{13}{9}\).

6. Montrer de même que l'équation réduite de la  médiatrice \(d_3\) du segment \([\text{AC}]\) est \(y=-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{25}{3}\).

7. Déterminer les coordonnées de \(\text M\), point d'intersection des médiatrices \(d_1\) et \(d_2\).

8. Vérifier que le point \(\text M\) appartient également à la médiatrice \(d_3\).

Conclusion : le point \(\text M\) est appelé centre du cercle circonscrit au triangle \(\text {ABC}\).